いいかげんな解体で建築申請などに影響が出てしまうのも問題ですが、解体費用を安く抑え、少しでも次の家にお金をかけたいと思われるなら解体と建築の分離発注を検討したほうがいいでしょう。

ここで必要なのは、住宅施工会社から解体見積もりを出してもらう際、
「安いところがあれば自分で解体業者を探してもいいですか？」
と、確認をとることです。（これに難色を示す業者は解体費をかなり上乗せしてる可能性大）
そして同じ条件で別の解体業者に見積もりをだしてもらいましょう。

ただ、解体から建築まで一貫してまかせられるのは楽だし安心という意味で発注される方もいるとおもいます。なので金額の差などを考慮する意味も含め,じっくりと検討してみましょう。